按权重随机选择

题目

题目来源：力扣（LeetCode）

给定一个正整数数组 w ，其中 w[i] 代表下标 i 的权重（下标从 0 开始），请写一个函数 pickIndex ，它可以随机地获取下标 i，选取下标 i 的概率与 w[i] 成正比。

例如，对于 w = [1, 3]，挑选下标 0 的概率为 1 / (1 + 3) = 0.25 （即，25%），而选取下标 1 的概率为 3 / (1 + 3) = 0.75（即，75%）。

也就是说，选取下标 i 的概率为 w[i] / sum(w) 。

示例 1：

输入：
[“Solution”,”pickIndex”]
[[[1]],[]]
输出：
[null,0]
解释：
Solution solution = new Solution([1]);
solution.pickIndex(); // 返回 0，因为数组中只有一个元素，所以唯一的选择是返回下标 0。

示例 2：

输入：
[“Solution”,”pickIndex”,”pickIndex”,”pickIndex”,”pickIndex”,”pickIndex”]
[[[1,3]],[],[],[],[],[]]
输出：
[null,1,1,1,1,0]
解释：
Solution solution = new Solution([1, 3]);
solution.pickIndex(); // 返回 1，返回下标 1，返回该下标概率为 3/4 。
solution.pickIndex(); // 返回 1
solution.pickIndex(); // 返回 1
solution.pickIndex(); // 返回 1
solution.pickIndex(); // 返回 0，返回下标 0，返回该下标概率为 1/4 。

由于这是一个随机问题，允许多个答案，因此下列输出都可以被认为是正确的:
[null,1,1,1,1,0]
[null,1,1,1,1,1]
[null,1,1,1,0,0]
[null,1,1,1,0,1]
[null,1,0,1,0,0]
……
诸若此类。

思路分析

前缀和 + 二分查找

1. 设数组 w 的权重之和为 total。根据题目的要求，我们可以看成将 [1,total] 范围内的所有整数分成 n 个部分（其中 n 是数组 w 的长度），第 i 个部分恰好w[i] 个整数，并且这n个部分两两的交集为空。随 后我们[1,total] 范围内随机选择一个整数x，如果整数x被包含在第 i 个部分内，我们就返回 i。

2. 一种较为简单的划分方法是按照从小到大的顺序依次划分每个部分。如果我们用pre[i] 表示数组 w 的前缀和：第 i 个区间的左边界就是 pre[i]−w[i]+1，右边界就是pre[i]。由于pre[i] 是单调递增的，因此 我们可以使用二分查找在 O(logn) 的时间内快速找到 i，即找出最小的满足x≤pre[i] 的下标 i。

/**
 * @param {number[]} w
 */
var Solution = function (w) {
  pre = new Array(w.length).fill(0);
  pre[0] = w[0];
  // 计数前缀和
  for (let i = 1; i < w.length; ++i) {
    pre[i] = pre[i - 1] + w[i];
  }
  this.total = _.sum(w);
};
/**
 * @return {number}
 */
Solution.prototype.pickIndex = function () {
  // 生成的随机数不能包含0，否则部分用例过不了
  const x = Math.floor((Math.random() * this.total)) + 1;
  const binarySearch = (x) => {
    let low = 0, high = pre.length - 1;
    while (low < high) {
      // 二分
      const mid = Math.floor((high - low) / 2) + low;
      if (pre[mid] < x) {
        low = mid + 1;
      } else {
        high = mid;
      }
    }
    return low;
  }
  return binarySearch(x);
};
/**
 * Your Solution object will be instantiated and called as such:
 * var obj = new Solution(w)
 * var param_1 = obj.pickIndex()
 */

拓展阅读：
彩票调度：https://pages.cs.wisc.edu/~remzi/OSTEP/Chinese/09.pdf