权重衰减

:label:sec_weight_decay

前一节我们描述了过拟合的问题，本节我们将介绍一些正则化模型的技术。 我们总是可以通过去收集更多的训练数据来缓解过拟合。 但这可能成本很高，耗时颇多，或者完全超出我们的控制，因而在短期内不可能做到。 假设我们已经拥有尽可能多的高质量数据，我们便可以将重点放在正则化技术上。

回想一下，在多项式回归的例子（ :numref:sec_model_selection）中， 我们可以通过调整拟合多项式的阶数来限制模型的容量。 实际上，限制特征的数量是缓解过拟合的一种常用技术。 然而，简单地丢弃特征对于这项工作来说可能过于生硬。 我们继续思考多项式回归的例子，考虑高维输入可能发生的情况。 多项式对多变量数据的自然扩展称为单项式（monomials）， 也可以说是变量幂的乘积。 单项式的阶数是幂的和。 例如，$x_1^2 x_2$和$x_3 x_5^2$都是3次单项式。

注意，随着阶数$d$的增长，带有阶数$d$的项数迅速增加。 给定$k$个变量，阶数为$d$的项的个数为 ${k - 1 + d} \choose {k - 1}$，即$C^{k-1}_{k-1+d} = \frac{(k-1+d)!}{(d)!(k-1)!}$。 因此即使是阶数上的微小变化，比如从$2$到$3$，也会显著增加我们模型的复杂性。 仅仅通过简单的限制特征数量（在多项式回归中体现为限制阶数），可能仍然使模型在过简单和过复杂中徘徊， 我们需要一个更细粒度的工具来调整函数的复杂性，使其达到一个合适的平衡位置。

范数与权重衰减

在 :numref:subsec_lin-algebra-norms中， 我们已经描述了$L_2$范数和$L_1$范数， 它们是更为一般的$L_p$范数的特殊情况。 (权重衰减是最广泛使用的正则化的技术之一) 在训练参数化机器学习模型时， 权重衰减（weight decay）是最广泛使用的正则化的技术之一， 它通常也被称为$L_2$正则化。 这项技术通过函数与零的距离来衡量函数的复杂度， 因为在所有函数$f$中，函数$f = 0$（所有输入都得到值$0$） 在某种意义上是最简单的。 但是我们应该如何精确地测量一个函数和零之间的距离呢？ 没有一个正确的答案。 事实上，函数分析和巴拿赫空间理论的研究，都在致力于回答这个问题。

一种简单的方法是通过线性函数 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{w}^\top \mathbf{x}$ 中的权重向量的某个范数来度量其复杂性， 例如$| \mathbf{w} |^2$。 要保证权重向量比较小， 最常用方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中。 将原来的训练目标最小化训练标签上的预测损失， 调整为最小化预测损失和惩罚项之和。 现在，如果我们的权重向量增长的太大， 我们的学习算法可能会更集中于最小化权重范数$| \mathbf{w} |^2$。 这正是我们想要的。 让我们回顾一下 :numref:sec_linear_regression中的线性回归例子。 我们的损失由下式给出：

L(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2.

回想一下，$\mathbf{x}^{(i)}$是样本$i$的特征， $y^{(i)}$是样本$i$的标签， $(\mathbf{w}, b)$是权重和偏置参数。 为了惩罚权重向量的大小， 我们必须以某种方式在损失函数中添加$| \mathbf{w} |^2$， 但是模型应该如何平衡这个新的额外惩罚的损失？ 实际上，我们通过正则化常数$\lambda$来描述这种权衡， 这是一个非负超参数，我们使用验证数据拟合：

L(\mathbf{w}, b) + \frac{\lambda}{2} |\mathbf{w}|^2,

对于$\lambda = 0$，我们恢复了原来的损失函数。 对于$\lambda > 0$，我们限制$| \mathbf{w} |$的大小。 这里我们仍然除以$2$：当我们取一个二次函数的导数时， $2$和$1/2$会抵消，以确保更新表达式看起来既漂亮又简单。 你可能会想知道为什么我们使用平方范数而不是标准范数（即欧几里得距离）？ 我们这样做是为了便于计算。 通过平方$L_2$范数，我们去掉平方根，留下权重向量每个分量的平方和。 这使得惩罚的导数很容易计算：导数的和等于和的导数。

此外，你可能会问为什么我们首先使用$L_2$范数，而不是$L_1$范数。 事实上，这个选择在整个统计领域中都是有效的和受欢迎的。 $L_2$正则化线性模型构成经典的岭回归（ridge regression）算法， $L_1$正则化线性回归是统计学中类似的基本模型， 通常被称为套索回归（lasso regression）。 使用$L_2$范数的一个原因是它对权重向量的大分量施加了巨大的惩罚。 这使得我们的学习算法偏向于在大量特征上均匀分布权重的模型。 在实践中，这可能使它们对单个变量中的观测误差更为稳定。 相比之下，$L_1$惩罚会导致模型将权重集中在一小部分特征上， 而将其他权重清除为零。 这称为特征选择（feature selection），这可能是其他场景下需要的。

使用与 :eqref:eq_linreg_batch_update中的相同符号， $L_2$正则化回归的小批量随机梯度下降更新如下式：

$$ \begin{aligned} \mathbf{w} & \leftarrow \left(1- \eta\lambda \right) \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right). \end{aligned} $$

根据之前章节所讲的，我们根据估计值与观测值之间的差异来更新$\mathbf{w}$。 然而，我们同时也在试图将$\mathbf{w}$的大小缩小到零。 这就是为什么这种方法有时被称为权重衰减。 我们仅考虑惩罚项，优化算法在训练的每一步衰减权重。 与特征选择相比，权重衰减为我们提供了一种连续的机制来调整函数的复杂度。 较小的$\lambda$值对应较少约束的$\mathbf{w}$， 而较大的$\lambda$值对$\mathbf{w}$的约束更大。

是否对相应的偏置$b^2$进行惩罚在不同的实践中会有所不同， 在神经网络的不同层中也会有所不同。 通常，网络输出层的偏置项不会被正则化。

高维线性回归

我们通过一个简单的例子来演示权重衰减。

```{.python .input} %matplotlib inline from d2l import mxnet as d2l from mxnet import autograd, gluon, init, np, npx from mxnet.gluon import nn npx.set_np()

  2. ```{.python .input}
  3. #@tab pytorch
  4. %matplotlib inline
  5. from d2l import torch as d2l
  6. import torch
  7. from torch import nn

```{.python .input}

@tab tensorflow

%matplotlib inline from d2l import tensorflow as d2l import tensorflow as tf

  2. 首先，我们[**像以前一样生成一些数据**]，生成公式如下：
  4. (**$$y = 0.05 + \sum_{i = 1}^d 0.01 x_i + \epsilon \text{ where }
  5. \epsilon \sim \mathcal{N}(0, 0.01^2).$$**)
  7. 我们选择标签是关于输入的线性函数。
  8. 标签同时被均值为0，标准差为0.01高斯噪声破坏。
  9. 为了使过拟合的效果更加明显，我们可以将问题的维数增加到$d = 200$，
  10. 并使用一个只包含20个样本的小训练集。
  12. ```{.python .input}
  13. #@tab all
  14. n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
  15. true_w, true_b = d2l.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
  16. train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
  17. train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
  18. test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
  19. test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

从零开始实现

下面我们将从头开始实现权重衰减，只需将$L_2$的平方惩罚添加到原始目标函数中。

[初始化模型参数]

首先，我们将定义一个函数来随机初始化模型参数。

```{.python .input} def init_params(): w = np.random.normal(scale=1, size=(num_inputs, 1)) b = np.zeros(1) w.attach_grad() b.attach_grad() return [w, b]

  2. ```{.python .input}
  3. #@tab pytorch
  4. def init_params():
  5.     w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
  6.     b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
  7.     return [w, b]

```{.python .input}

@tab tensorflow

def init_params(): w = tf.Variable(tf.random.normal(mean=1, shape=(num_inputs, 1))) b = tf.Variable(tf.zeros(shape=(1, ))) return [w, b]

  2. ### (**定义$L_2$范数惩罚**)
  4. 实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和。
  6. ```{.python .input}
  7. def l2_penalty(w):
  8.     return (w**2).sum() / 2

```{.python .input}

@tab pytorch

def l2_penalty(w): return torch.sum(w.pow(2)) / 2

  2. ```{.python .input}
  3. #@tab tensorflow
  4. def l2_penalty(w):
  5.     return tf.reduce_sum(tf.pow(w, 2)) / 2

[定义训练代码实现]

下面的代码将模型拟合训练数据集，并在测试数据集上进行评估。 从 :numref:chap_linear以来，线性网络和平方损失没有变化， 所以我们通过d2l.linreg和d2l.squared_loss导入它们。 唯一的变化是损失现在包括了惩罚项。

```{.python .input} def train(lambd): w, b = init_params() net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss num_epochs, lr = 100, 0.003 animator = d2l.Animator(xlabel=’epochs’, ylabel=’loss’, yscale=’log’, xlim=[5, num_epochs], legend=[‘train’, ‘test’]) for epoch in range(num_epochs): for X, y in train_iter: with autograd.record():

  1.             # 增加了L2范数惩罚项，
  2.             # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
  3.             l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
  4.         l.backward()
  5.         d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
  6.     if (epoch + 1) % 5 == 0:
  7.         animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
  8.                                  d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
  9. print('w的L2范数是：', np.linalg.norm(w))
  2. ```{.python .input}
  3. #@tab pytorch
  4. def train(lambd):
  5.     w, b = init_params()
  6.     net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
  7.     num_epochs, lr = 100, 0.003
  8.     animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
  9.                             xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
  10.     for epoch in range(num_epochs):
  11.         for X, y in train_iter:
  12.             # 增加了L2范数惩罚项，
  13.             # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
  14.             l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
  15.             l.sum().backward()
  16.             d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
  17.         if (epoch + 1) % 5 == 0:
  18.             animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
  19.                                      d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
  20.     print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())

```{.python .input}

@tab tensorflow

def train(lambd): w, b = init_params() net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss num_epochs, lr = 100, 0.003 animator = d2l.Animator(xlabel=’epochs’, ylabel=’loss’, yscale=’log’, xlim=[5, num_epochs], legend=[‘train’, ‘test’]) for epoch in range(num_epochs): for X, y in train_iter: with tf.GradientTape() as tape:

  1.             # 增加了L2范数惩罚项，
  2.             # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
  3.             l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
  4.         grads = tape.gradient(l, [w, b])
  5.         d2l.sgd([w, b], grads, lr, batch_size)
  6.     if (epoch + 1) % 5 == 0:
  7.         animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
  8.                                  d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
  9. print('w的L2范数是：', tf.norm(w).numpy())
  2. ### [**忽略正则化直接训练**]
  4. 我们现在用`lambd = 0`禁用权重衰减后运行这个代码。
  5. 注意，这里训练误差有了减少，但测试误差没有减少，
  6. 这意味着出现了严重的过拟合。
  8. ```{.python .input}
  9. #@tab all
  10. train(lambd=0)

[使用权重衰减]

下面，我们使用权重衰减来运行代码。 注意，在这里训练误差增大，但测试误差减小。 这正是我们期望从正则化中得到的效果。

```{.python .input}

@tab all

train(lambd=3)

  2. ## [**简洁实现**]
  4. 由于权重衰减在神经网络优化中很常用，
  5. 深度学习框架为了便于我们使用权重衰减，
  6. 将权重衰减集成到优化算法中，以便与任何损失函数结合使用。
  7. 此外，这种集成还有计算上的好处，
  8. 允许在不增加任何额外的计算开销的情况下向算法中添加权重衰减。
  9. 由于更新的权重衰减部分仅依赖于每个参数的当前值，
  10. 因此优化器必须至少接触每个参数一次。
  12. :begin_tab:`mxnet`
  13. 在下面的代码中，我们在实例化`Trainer`时直接通过`wd`指定weight decay超参数。
  14. 默认情况下，Gluon同时衰减权重和偏置。
  15. 注意，更新模型参数时，超参数`wd`将乘以`wd_mult`。
  16. 因此，如果我们将`wd_mult`设置为零，则偏置参数$b$将不会被衰减。
  17. :end_tab:
  19. :begin_tab:`pytorch`
  20. 在下面的代码中，我们在实例化优化器时直接通过`weight_decay`指定weight decay超参数。
  21. 默认情况下，PyTorch同时衰减权重和偏移。
  22. 这里我们只为权重设置了`weight_decay`，所以偏置参数$b$不会衰减。
  23. :end_tab:
  25. :begin_tab:`tensorflow`
  26. 在下面的代码中，我们使用权重衰减超参数`wd`创建一个$L_2$正则化器，
  27. 并通过`kernel_regularizer`参数将其应用于网络层。
  28. :end_tab:
  30. ```{.python .input}
  31. def train_concise(wd):
  32.     net = nn.Sequential()
  33.     net.add(nn.Dense(1))
  34.     net.initialize(init.Normal(sigma=1))
  35.     loss = gluon.loss.L2Loss()
  36.     num_epochs, lr = 100, 0.003
  37.     trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd',
  38.                             {'learning_rate': lr, 'wd': wd})
  39.     # 偏置参数没有衰减。偏置名称通常以“bias”结尾
  40.     net.collect_params('.*bias').setattr('wd_mult', 0)
  41.     animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
  42.                             xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
  43.     for epoch in range(num_epochs):
  44.         for X, y in train_iter:
  45.             with autograd.record():
  46.                 l = loss(net(X), y)
  47.             l.backward()
  48.             trainer.step(batch_size)
  49.         if (epoch + 1) % 5 == 0:
  50.             animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
  51.                                      d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
  52.     print('w的L2范数：', np.linalg.norm(net[0].weight.data()))

```{.python .input}

@tab pytorch

def trainconcise(wd): net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1)) for param in net.parameters(): param.data.normal() loss = nn.MSELoss(reduction=’none’) num_epochs, lr = 100, 0.003

  1. # 偏置参数没有衰减
  2. trainer = torch.optim.SGD([
  3.     {"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},
  4.     {"params":net[0].bias}], lr=lr)
  5. animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
  6.                         xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
  7. for epoch in range(num_epochs):
  8.     for X, y in train_iter:
  9.         trainer.zero_grad()
  10.         l = loss(net(X), y)
  11.         l.mean().backward()
  12.         trainer.step()
  13.     if (epoch + 1) % 5 == 0:
  14.         animator.add(epoch + 1,
  15.                      (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
  16.                       d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
  17. print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())
  2. ```{.python .input}
  3. #@tab tensorflow
  4. def train_concise(wd):
  5.     net = tf.keras.models.Sequential()
  6.     net.add(tf.keras.layers.Dense(
  7.         1, kernel_regularizer=tf.keras.regularizers.l2(wd)))
  8.     net.build(input_shape=(1, num_inputs))
  9.     w, b = net.trainable_variables
  10.     loss = tf.keras.losses.MeanSquaredError()
  11.     num_epochs, lr = 100, 0.003
  12.     trainer = tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=lr)
  13.     animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
  14.                             xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
  15.     for epoch in range(num_epochs):
  16.         for X, y in train_iter:
  17.             with tf.GradientTape() as tape:
  18.                 # tf.keras需要为自定义训练代码手动添加损失。
  19.                 l = loss(net(X), y) + net.losses
  20.             grads = tape.gradient(l, net.trainable_variables)
  21.             trainer.apply_gradients(zip(grads, net.trainable_variables))
  22.         if (epoch + 1) % 5 == 0:
  23.             animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
  24.                                      d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
  25.     print('w的L2范数：', tf.norm(net.get_weights()[0]).numpy())

[这些图看起来和我们从零开始实现权重衰减时的图相同]。 然而，它们运行得更快，更容易实现。 对于更复杂的问题，这一好处将变得更加明显。

```{.python .input}

@tab all

train_concise(0)

  2. ```{.python .input}
  3. #@tab all
  4. train_concise(3)

到目前为止，我们只接触到一个简单线性函数的概念。 此外，由什么构成一个简单的非线性函数可能是一个更复杂的问题。 例如，再生核希尔伯特空间（RKHS） 允许在非线性环境中应用为线性函数引入的工具。 不幸的是，基于RKHS的算法往往难以应用到大型、高维的数据。 在这本书中，我们将默认使用简单的启发式方法，即在深层网络的所有层上应用权重衰减。

小结

  • 正则化是处理过拟合的常用方法：在训练集的损失函数中加入惩罚项，以降低学习到的模型的复杂度。
  • 保持模型简单的一个特别的选择是使用$L_2$惩罚的权重衰减。这会导致学习算法更新步骤中的权重衰减。
  • 权重衰减功能在深度学习框架的优化器中提供。
  • 在同一训练代码实现中，不同的参数集可以有不同的更新行为。

练习

  1. 在本节的估计问题中使用$\lambda$的值进行实验。绘制训练和测试精度关于$\lambda$的函数。你观察到了什么？
  2. 使用验证集来找到最佳值$\lambda$。它真的是最优值吗？这有关系吗？
  3. 如果我们使用$\sum_i |w_i|$作为我们选择的惩罚（$L_1$正则化），那么更新方程会是什么样子？
  4. 我们知道$|\mathbf{w}|^2 = \mathbf{w}^\top \mathbf{w}$。你能找到类似的矩阵方程吗（见 :numref:subsec_lin-algebra-norms 中的Frobenius范数）？
  5. 回顾训练误差和泛化误差之间的关系。除了权重衰减、增加训练数据、使用适当复杂度的模型之外，你还能想出其他什么方法来处理过拟合？
  6. 在贝叶斯统计中，我们使用先验和似然的乘积，通过公式$P(w \mid x) \propto P(x \mid w) P(w)$得到后验。如何得到带正则化的$P(w)$？

:begin_tab:mxnet Discussions :end_tab:

:begin_tab:pytorch Discussions :end_tab:

:begin_tab:tensorflow Discussions :end_tab: