NumPy 实现k均值聚类算法（k-means）

NumPy 实现k均值聚类算法（k-means）

机器学习算法与Python实践这个系列主要是参考《机器学习实战》这本书。因为自己想学习Python，然后也想对一些机器学习算法加深下了解，所以就想通过Python来实现几个比较常用的机器学习算法。恰好遇见这本同样定位的书籍，所以就参考这本书的过程来学习了。

机器学习中有两类的大问题，一个是分类，一个是聚类。分类是根据一些给定的已知类别标号的样本，训练某种学习机器，使它能够对未知类别的样本进行分类。这属于supervised learning（监督学习）。而聚类指事先并不知道任何样本的类别标号，希望通过某种算法来把一组未知类别的样本划分成若干类别，这在机器学习中被称作 unsupervised learning （无监督学习）。在本文中，我们关注其中一个比较简单的聚类算法：k-means算法。

k-means算法简介

通常，人们根据样本间的某种距离或者相似性来定义聚类，即把相似的（或距离近的）样本聚为同一类，而把不相似的（或距离远的）样本归在其他类。

我们以一个二维的例子来说明下聚类的目的。如下图左所示，假设我们的n个样本点分布在图中所示的二维空间。从数据点的大致形状可以看出它们大致聚为三个cluster，其中两个紧凑一些，剩下那个松散一些。我们的目的是为这些数据分组，以便能区分出属于不同的簇的数据，如果按照分组给它们标上不同的颜色，就是像下图右边的图那样：

聚类对比图

如果人可以看到像上图那样的数据分布，就可以轻松进行聚类。但我们怎么教会计算机按照我们的思维去做同样的事情呢？这里就介绍个集简单和经典于一身的k-means算法。

k-means算法是一种很常见的聚类算法，它的基本思想是：通过迭代寻找k个聚类的一种划分方案，使得用这k个聚类的均值来代表相应各类样本时所得的总体误差最小。

k-means算法的基础是最小误差平方和准则。其代价函数是：

代价函数

上式中，μc(i)表示第i个聚类的均值。我们希望代价函数最小，直观的来说，各类内的样本越相似，其与该类均值间的误差平方越小，对所有类所得到的误差平方求和，即可验证分为k类时，各聚类是否是最优的。

上式的代价函数无法用解析的方法最小化，只能有迭代的方法。k-means算法是将样本聚类成 k个簇（cluster），其中k是用户给定的，其求解过程非常直观简单，具体算法描述如下：

随机选取 k个聚类质心点
重复下面过程直到收敛
- 对于每一个样例 i，计算其应该属于的类：
- 对于每一个类 j，重新计算该类的质心：

下图展示了对n个样本点进行K-means聚类的效果，这里k取2。

聚类效果

其伪代码如下：

创建k个点作为初始的质心点（随机选择）
当任意一个点的簇分配结果发生改变时
    对数据集中的每一个数据点
        对每一个质心
            计算质心与数据点的距离
        将数据点分配到距离最近的簇
    对每一个簇，计算簇中所有点的均值，并将均值作为质心

Numpy 实现

我使用的Python是2.7.5版本的。附加的库有Numpy和Matplotlib。具体的安装和配置见前面的博文。在代码中已经有了比较详细的注释了。不知道有没有错误的地方，如果有，还望大家指正（每次的运行结果都有可能不同）。里面我写了个可视化结果的函数，但只能在二维的数据上面使用。直接贴代码：

kmeans.py：

#################################################
# kmeans: k-means cluster
# Author : zouxy
# Date   : 2013-12-25
# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
# Email  : zouxy09@qq.com
#################################################
from numpy import *
import time
import matplotlib.pyplot as plt
# calculate Euclidean distance
def euclDistance(vector1, vector2):
    return sqrt(sum(power(vector2 - vector1, 2)))
# init centroids with random samples
def initCentroids(dataSet, k):
    numSamples, dim = dataSet.shape
    centroids = zeros((k, dim))
    for i in range(k):
        index = int(random.uniform(0, numSamples))
        centroids[i, :] = dataSet[index, :]
    return centroids
# k-means cluster
def kmeans(dataSet, k):
    numSamples = dataSet.shape[0]
    # first column stores which cluster this sample belongs to,
    # second column stores the error between this sample and its centroid
    clusterAssment = mat(zeros((numSamples, 2)))
    clusterChanged = True
    ## step 1: init centroids
    centroids = initCentroids(dataSet, k)
    while clusterChanged:
        clusterChanged = False
        ## for each sample
        for i in xrange(numSamples):
            minDist  = 100000.0
            minIndex = 0
            ## for each centroid
            ## step 2: find the centroid who is closest
            for j in range(k):
                distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :])
                if distance < minDist:
                    minDist  = distance
                    minIndex = j
            ## step 3: update its cluster
            if clusterAssment[i, 0] != minIndex:
                clusterChanged = True
                clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist**2
        ## step 4: update centroids
        for j in range(k):
            pointsInCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:, 0].A == j)[0]]
            centroids[j, :] = mean(pointsInCluster, axis = 0)
    print 'Congratulations, cluster complete!'
    return centroids, clusterAssment
# show your cluster only available with 2-D data
def showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment):
    numSamples, dim = dataSet.shape
    if dim != 2:
        print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"
        return 1
    mark = ['or', 'ob', 'og', 'ok', '^r', '+r', 'sr', 'dr', '<r', 'pr']
    if k > len(mark):
        print "Sorry! Your k is too large! please contact Zouxy"
        return 1
    # draw all samples
    for i in xrange(numSamples):
        markIndex = int(clusterAssment[i, 0])
        plt.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i, 1], mark[markIndex])
    mark = ['Dr', 'Db', 'Dg', 'Dk', '^b', '+b', 'sb', 'db', '<b', 'pb']
    # draw the centroids
    for i in range(k):
        plt.plot(centroids[i, 0], centroids[i, 1], mark[i], markersize = 12)
    plt.show()

测试

测试数据是二维的，共80个样本。有4个类。如下：

testSet.txt：

测试结果：

1.658985    4.285136
-3.453687    3.424321
4.838138    -1.151539
-5.379713    -3.362104
0.972564    2.924086
-3.567919    1.531611
0.450614    -3.302219
-3.487105    -1.724432
2.668759    1.594842
-3.156485    3.191137
3.165506    -3.999838
-2.786837    -3.099354
4.208187    2.984927
-2.123337    2.943366
0.704199    -0.479481
-0.392370    -3.963704
2.831667    1.574018
-0.790153    3.343144
2.943496    -3.357075
-3.195883    -2.283926
2.336445    2.875106
-1.786345    2.554248
2.190101    -1.906020
-3.403367    -2.778288
1.778124    3.880832
-1.688346    2.230267
2.592976    -2.054368
-4.007257    -3.207066
2.257734    3.387564
-2.679011    0.785119
0.939512    -4.023563
-3.674424    -2.261084
2.046259    2.735279
-3.189470    1.780269
4.372646    -0.822248
-2.579316    -3.497576
1.889034    5.190400
-0.798747    2.185588
2.836520    -2.658556
-3.837877    -3.253815
2.096701    3.886007
-2.709034    2.923887
3.367037    -3.184789
-2.121479    -4.232586
2.329546    3.179764
-3.284816    3.273099
3.091414    -3.815232
-3.762093    -2.432191
3.542056    2.778832
-1.736822    4.241041
2.127073    -2.983680
-4.323818    -3.938116
3.792121    5.135768
-4.786473    3.358547
2.624081    -3.260715
-4.009299    -2.978115
2.493525    1.963710
-2.513661    2.642162
1.864375    -3.176309
-3.171184    -3.572452
2.894220    2.489128
-2.562539    2.884438
3.491078    -3.947487
-2.565729    -2.012114
3.332948    3.983102
-1.616805    3.573188
2.280615    -2.559444
-2.651229    -3.103198
2.321395    3.154987
-1.685703    2.939697
3.031012    -3.620252
-4.599622    -2.185829
4.196223    1.126677
-2.133863    3.093686
4.668892    -2.562705
-2.793241    -2.149706
2.884105    3.043438
-2.967647    2.848696
4.479332    -1.764772
-4.905566    -2.911070

test_kmeans.py

测试代码：

#################################################
# kmeans: k-means cluster
# Author : zouxy
# Date   : 2013-12-25
# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
# Email  : zouxy09@qq.com
#################################################
from numpy import *
import time
import matplotlib.pyplot as plt
## step 1: load data
print "step 1: load data..."
dataSet = []
fileIn = open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt')
for line in fileIn.readlines():
    lineArr = line.strip().split('\t')
    dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
## step 2: clustering...
print "step 2: clustering..."
dataSet = mat(dataSet)
k = 4
centroids, clusterAssment = kmeans(dataSet, k)
## step 3: show the result
print "step 3: show the result..."
showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment)

运行的前后结果对比：

结果对比

不同的类用不同的颜色来表示，其中的大菱形是对应类的均值质心点。

算法分析

k-means算法比较简单，但也有几个比较大的缺点：

（1）k值的选择是用户指定的，不同的k得到的结果会有挺大的不同，如下图所示，左边是k=3的结果，这个就太稀疏了，蓝色的那个簇其实是可以再划分成两个簇的。而右图是k=5的结果，可以看到红色菱形和蓝色菱形这两个簇应该是可以合并成一个簇的：

不同结果

（2）对k个初始质心的选择比较敏感，容易陷入局部最小值。例如，我们上面的算法运行的时候，有可能会得到不同的结果，如下面这两种情况。K-means也是收敛了，只是收敛到了局部最小值：

局部最优解

（3）存在局限性，如下面这种非球状的数据分布就搞不定了：

非球状的数据分布

（4）数据库比较大的时候，收敛会比较慢。

k-means老早就出现在江湖了。所以以上的这些不足也被世人的目光敏锐的捕捉到，并融入世人的智慧进行了某种程度上的改良。例如问题（1）对k的选择可以先用一些算法分析数据的分布，如重心和密度等，然后选择合适的k。而对问题（2），有人提出了另一个成为二分k均值（bisecting k-means）算法，它对初始的k个质心的选择就不太敏感，这个算法我们下一个博文再分析和实现。

文章出处

作者：zouxy09 来源：CSDN 原文：https://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/17589329